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- अति महत्वपूर्ण बहु वैकल्पिक प्रश्न
- ऑनलाइन क्रमचय और संचय एक्सरसाइज, उत्तर और हल के साथ
- सभी प्रत्योगिता परीक्षाओं के लिए उपयोगी
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- Question 1 of 20
1. Question
एक बहुभुज में कोई तीन विकर्ण सर्वांगसम नहीं हैं। यदि बहुभुज के अंत: विकर्णों के प्रतिच्छेदी बिन्दुओं की कुल संख्या 70 है तो बहुभुज के विकर्णों की संख्या होगीः
Hint
A combination of four vertices is equivalent to one interior point of intersection of diagonals.
∴ No. of interior points of intersection = nC₄ = 70
⇒ n (n – 1) (n – 2) (n – 3)
= 5. 6. 7. 8
∴ n = 8 So, number of diagonals
= ⁸C₂ – 8 = 20
- Question 2 of 20
2. Question
किसी फर्म के आठ निर्देशक, होने वाला चेयरमेन और वर्तमान चेयरमेन, कितने तरीकों से एक राउण्ड टेबल के चारों ओर इस प्रकार बैठ सकते हैं कि वर्तमान चेयरमेन, होनेवाला चेयरमेन और निर्देशक के बीच में हो?
Hint
Let the Vice-chairman & the Chairman form 1 unit.
Along with the eight directors, we now have to arrange 9 different units in a circle.
This can be done in 8! ways.
At the some time, the Vice-chairman & the chairman can be arranged in two different ways.
Therefore, the total number of ways = 2 × 8!
- Question 3 of 20
3. Question
2n+1 विद्यार्थियों में से, n विद्यार्थियों को स्कोलरशिप देना है। 63 तरीकों से विद्यार्थियों को स्कोलरशिप दिया जा सकता है। स्कोलरशिप लेनेवाले विद्यार्थियों की संख्या क्या है?
Hint
The no. of ways are
By option elimination,
2n + 1 = 7. So n = 3.
- Question 4 of 20
4. Question
सैकड़ा, दहाई और इकाई स्थानों पर क्रमशः x, y और z अंकों के ऐसे कितने तीन अंकों वाले ध्नात्मक पूर्णांक संख्याएँ इस प्रकार हैं कि x < y, z < y और x ≠ 0?
Hint
Consider the number:
x y z where x < y , z < y and x ≠ 0.
If y = 9 , x can be between 1 to 8 and z can be between 0 to 8
Total combinations = 9 × 8 = 72
If y = 8 , x can be between 1 to 7 and z can be between 0 to 7
combinations = 7 × 8 = 56
Similarly we add all combinations :
8 × 9 + 7 × 8 + 6 × 7 + 5 × 6 + 4 × 5 + 3 × 4 + 2 × 3 + 2 × 1
= 240 ways.
- Question 5 of 20
5. Question
संख्या 1,2, …. 6 वाले 6 बाॅक्स है। प्रत्येक बाॅक्स में या तो लाल या हरा गेंद इस प्रकार भरा जाता है कि कम से कम 1 बाॅक्स में एक हरा गेंद हो और हरे गेंद वाले बाॅक्स का क्रम क्रमागत संख्या में हो। यह कितने तरीके से संभव हो सकता है?
Hint
As they are consecutively numbered total number of ways will be
6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21 ways
- Question 6 of 20
6. Question
एक शतरंज प्रतियोगिता में स्कूल के कुछ लड़के और लड़कियों ने भाग लिया है जिसमें प्रत्येक विद्यार्थी को प्रत्येक दूसरे विद्यार्थी के साथ ठीक एक खेल खेलना था। यह पाया गया कि 45 खेलों में दोनों खिलाड़ी लड़कियाँ थीं और की 190 खेलों में दोनों खिलाड़ी लड़के थें। उन खेलों की संख्या क्या भी जिसमें एक खिलाड़ी लड़का और दूसरी खिलाड़ी लड़की थी।
Hint
Let number of girls = x and the number of boys = y
45 games in which both the players were girls
∴ x = 10
190 games, where both the players were boys.
yC₂ = 190
⇒ y(y – 1) = 380
∴ y = 20
Hence the total number of games in which one player was a boy and the other was a girl
= 10 × 20 = 200
- Question 7 of 20
7. Question
तीन इंगलिशमेन और तीन फ्रेंचमेन एक ही कंपनी में कार्य करते हैं। उनमें से प्रत्येक को एक राज (secret) पता है जो अन्य को ज्ञात नहीं है। उन लोगों को ये राज एक व्यक्ति से दूसरे व्यक्ति को टेलीफोन के द्वारा बताने की आवश्यकता है ताकि अंत में प्रत्येक व्यक्ति 6 राजों को जान सके। कोई भी फ्रेंचमेन अंग्रेज़ी नहीं जानता है और केवल एक इंगलिशमेन फ्रेंच जानता है। उपरोक्त उद्देश्य की पूर्ति के लिए टेलीफोन करने की न्यूनतम संख्या क्या है?
Hint
For each person to know all the secrets the communication has to be between the Englishmen (who knows say E1 French) and one Frenchmen (say F1).
The other two in each case will communicate with E1 & F1 respectively.
So for minimum no. of calls, E2 gives information to E1 & receives it after E1 interacts with F1.
So 2 calls for each of the four E2, E3, F2 and F3,
i.e., 8 calls +1 call (between E1 & F1). Hence 9 calls in all.
- Question 8 of 20
8. Question
एक महिला को अपने नौ दोस्तों में से 5 दोस्तों का चुनाव करना है और उन्हें रात के खाने पर बुलाना है। पाँच दोस्तों को खाने पर बुलाने के कितने तरीके हो सकते हैं जबकि दिया गया है कि कोई भी दो दोस्त एक साथ खाने पर नहीं आयेंगे?
Hint
Number of ways of selecting 5 guests from nine friends = ⁹C₅
Out of these, ⁷C₃ ways are those in which two of the friends occur together [3 more persons to be selected out of remaining 7]
∴ Number of ways, in which two of the friends will not attend the party together
= ⁹C₅ – ⁷C₃ = 91.
- Question 9 of 20
9. Question
एक शतरंज टुर्नामेन्ट में प्रत्येक भागीदार को एक मैच दूसरे के साथ खेलना है। इनमें से दो खिलाड़ी बीमार पड़ गये जिसमें से प्रत्येक ने 3 मैच खेले थें। यदि खेले गये कुल मैचों की संख्या 84 है, तो प्रारंभ में खिलाड़ियों की संख्या थीः
Hint
Let there be n participants in the beginning.
Then the number of games played by (n – 2) players
= n – ²C₂
(Two players played three games each)
⇒ (n – 2)(n – 3) = 156
⇒ n² – 5n – 150 = 0
⇒ n = 15
- Question 10 of 20
10. Question
B₁, B₂, B₃, …., B₁₀, दस बैग हैं जिसमें क्रमशः 21, 22, 23, …., 30 भिन्न-भिन्न वस्तुएँ है। कितने तरीके से एक बैग से 10 वस्तुएँ निकाली जा सकती है?
Hint
The required number of ways
=
=
=
…………. =
. - Question 11 of 20
11. Question
पाँच विवाहित जोड़े में से कितने प्रकार से, टेनिस में एक मिश्रित युगल मैच का आयोजन किया जा सकता है यदि पति और पत्नी एक ही मैच में शामिल नहीं होते हो?
Hint
Let the sides of the game be A and B. Given 5 married couples, i.e., 5 husbands and 5 wives.
Now, 2 husbands for two sides A and B can be selected out of 5 = ⁵C₂ = 10 ways.
After choosing the two husbands their wives are to be excluded (since no husband and wife play in the same game).
So we are to choose 2 wives out of remaining 5 – 2 = 3 wives
i.e., ³C₂ = 3 ways.
Again two wives can interchange their sides A and B in 2! = 2 ways.
By the principle of multiplication, the required number of ways
= 10 × 3 × 2 = 60
- Question 12 of 20
12. Question
6 शिक्षक और 6 विद्यार्थियों को एक वृत्तीय टेबल के चारों ओर इस प्रकार बैठना है कि दो विद्यार्थी के बीच में एक शिक्षक हो। वे इस प्रकार कितने तरीकों से बैठ सकते हैं?
Hint
Six students S₁, S₂, …….., S₆ can be arranged round a circular table in 5 ! ways.
Among these 6 students there are six vacant places, shown by dots (•) in which six teachers can sit in 6 ! ways.
Hence, number of arrangement = 5 ! × 6 !
- Question 13 of 20
13. Question
एक सर्कस में m विभिन्न जानवरों को m पिंजरे में इस प्रकार रखना है कि प्रत्येक पिंजरे में एक जानवर हो। यदि n (< m) पिंजरे, p (n < p < m) जानवरों को आवास देने के लिए छोटा है, तो कितने तरीके से जानवरों को पिंजरे में रखा जा सकता है?
Hint
Number of ways of arranging P big animals into
m – n big cages = m–nPp.
Now remaining animals can be arranged in any cage in
m–pPm–P ways
∴ Desired number of ways
= m–nPp × m–pPm–p
- Question 14 of 20
14. Question
एक लड़के के पास 3 पुस्तकालय कार्ड है और पुस्तकालय में उसकी रूचि की 8 पुस्तकें मौजूद है। इन 8 पुस्तकों में, वह रसायनशास्त्र भाग II बिना रसायनशास्त्र भाग I के नहीं लेना चाहता है। कितने तरीके से वह तीन पुस्तकों का चुनाव कर सकता है?
Hint
Two possibilities are there :
(i) Chemistry part I is available in 8 books with Chemistry part II.
or
(ii) Chemistry part II is available in 8 books but Chemistry part I is not available.
Total No. of ways
= 1 × ⁶C₁ + ⁷C₃
=
- Question 15 of 20
15. Question
त्रिज्या R वाले एक वृत्त में बराबर दुरियों पर 6 बिन्दु A, B, C, D, E और F चिह्नित किये गये हैं। इन बिन्दुओं को शीर्ष मानकर भिन्न-भिन्न क्षेत्रफलों वाले कितने उत्तल पंचभुज बनाए जा सकते हैं?
Hint
As all the points are equally spaced, the area of all the convex pentagons will be the same.
- Question 16 of 20
16. Question
अंग्रेज़ी वर्णमाला के दस विभिन्न अक्षर दिए गए हैं। इन दिए हुए अक्षरों से 5 अक्षरों वाले शब्द बनाए गए हैं, तो वैसे शब्द कितने हैं जिसमें कम से कम एक अक्षर दोहराये गए हैं?
Hint
No. of words which have at least one letter repeated = total no. of words – total no. of words in which no letter is repeated
= 10⁵ – ¹⁰P₅
= 100000 – 10 × 9 × 8 × 7 × 6
= 100000 – 30240 = 69760
- Question 17 of 20
17. Question
किसी परीक्षा के प्रश्न-पत्र में दो खण्ड हैं और प्रत्येक खण्ड में 4 प्रश्न हैं। एक परीक्षार्थी को 5 प्रश्नों का उत्तर देना है लेकिन किसी एक खण्ड से 3 प्रश्नों से ज्यादा का उत्तर नहीं देना है। वह कितने तरीके से 5 प्रश्नों का चुनाव कर सकता है?
Hint
Under the given restrictions, 5 questions can be selected in the following ways :
2 questions from the first section and 3 questions from the second section
Or
3 questions from the first section and 2 questions from the second section.
Required no. of ways
= ⁴C₂ × ⁴C₃ + ⁴C₃ × ⁴C₂
= 24 + 24 = 48
- Question 18 of 20
18. Question
एक बाॅक्स में 10 गेंद है जिसमें से 3 लाल और बाकी नीला है। इस बॉक्स से, यादृच्छिक रूप से 6 गेंद के नमूने कितने तरीके से निकाले जा सकते हैं कि इस नमूने में 2 से ज्यादा लाल गेंद नहीं होने चाहिए और एक ही रंग वाले 6 गेंद भी नहीं होने चाहिए।
Hint
Six balls can be selected in the following ways: one red balls and 5 blue balls or
Two red balls and 4 blue balls
Total number of ways
= ³C₁ × ⁷C₅ + ³C₂ × ⁷C₄
= 63 + 105 = 168
- Question 19 of 20
19. Question
एक कक्षा का फोटोग्राफ लेना है। सामने की पंक्ति में 6 लड़कियाँ बैठी हुई है। पीछे की तरफ 20 लड़के खड़े हैं। दो कोने के स्थान 2 सबसे लंबे लड़कों के लिए रिजर्व है। कितने तरीके से विद्यार्थियों को व्यवस्थित किया जा सकता है?
Hint
Two tallest boys can be arranged in 2! ways. Rest 18 can be arranged in 18! ways.
Girls can be arranged in 6! ways.
Total number of ways of arrangement
= 2! × 18! × 6!
= 18! × 2 × 720 = 18! × 1440
- Question 20 of 20
20. Question
A,B,C और D चार शहर हैं उनमें से कोई तीन असंरेखित (non-collinear) हैं। कितने तरीके से ऐसे तीन रोड बनाए जा सकते हैं जिसमें से प्रत्येक रोड शहरों के एक युग्म से इस प्रकार जुड़ा हो ताकि ये रोड त्रिभुज नहीं बनाये?
Hint
To construct 2 roads, three towns can be selected out of 4 in 4 ×3×2 = 24 ways.
Now if the third road goes from the third town to the first town, a triangle is formed, and if it goes to the fourth town, a triangle is not formed. So there are 24 ways to form a triangle and 24 ways of avoiding a triangle.