Numbers 2
दो अलग-अलग संख्याओं को जब किसी समान भाजक से विभाजित किया जाता है तो शेषफल क्रमश: 11 और 21 प्राप्त होता है, और जब उन संख्याओं के योग को उसी भाजक से विभाजित किया जाता है तो शेषफल 4 प्राप्त होता है. भाजक क्या है?
Divisor = [Sum of remainders]
– [ Remainder when sum is divided]
= 11 + 21 – 4 = 28
किसी संख्या को किसी भाजक से विभाजित करने पर शेषफल 23 प्राप्त होता है. जब दुगुनी संख्या को समान भाजक से विभाजित किया जाता है तो शेषफल 11 प्राप्त होता है. भाजक ज्ञात करें.
Let number be N.
Then, N = Divisor × Q₁ + 23
2N = Divisor × Q₂ + 11, where Q₁ and Q₂ are quotients respectively.
किसी संख्या को 5 से विभाजित करने पर शेष 3 प्राप्त होता है. उस संख्या के वर्ग को 5 से विभाजित करने पर कितना शेष प्राप्त होगा?
Let the number be 5q + 3, where q is quotient
Now (5q + 3)² = 25q² + 30q + 9
= 25q² + 30q + 5 + 4
= 5[5q² + 6q + 1] + 4
Hence, remainder is 4
किसी संख्या को 7 एवं 8 से विभाजित करने पर शेषफल क्रमश: 3 और 5 आता है. उसी संख्या को 56 से विभाजित करने पर शेषफल क्या प्राप्त होगा?
56 = d₁ × d₂
∴ required remainder = d₁r₂ + r₁
where d₁ = 7 and r₁ = 3 and r₂ = 5
किसी संख्या को क्रमिक रूप (successively) से 3, 5 और 8 से विभाजित करने पर क्रमशः 1,2 और 4 शेषफल प्राप्त होते हैं. यदि भाजक का क्रम उलट दिया जाए तो शेषफल प्राप्त होगाः
Let the quotient be q when divided by 8. n= 3{5(8q+4)+2}+1 =3(40q+22)+1 =120q+66+1 =120q+67 Now, if it is divided by 8. We have n=120q+67=8(15q+8)+3, remainder 3. And if 15q+8 is divided by 5, we get remainder 3. And if 3q+1 is divided by 3, we get remainder 1. Hence, this all gives us the remainders as 3, 3 and 1. Trick: Complete remainder = d₁d₂r₃ + d₁r₂ + r₁ = 3 × 5 × 4 + 3 × 2 + 1 = 67 Divided 67 by 8, 5 and 3, the remainders are 3, 3, 1.
एक लड़का x को 13 से गुणा करता है. वह पाता है कि परिणामी संख्या के सभी अंक 9 हैं. x का न्यूनतम मान क्या है?
By actual division, we find that 999999 is exactly divisible by 13. The quotient 76923 is the required number.
एक लड़के को 49471 को 210 से भाग देना था. उसने भूल-वस भाजक को गलत लिख लिया जिससे उसका भागफल 246 और शेषफल 25 आया. लड़के ने भाजक कितना लिखा था?
By division Algorithm,
49471 = 246 × D + 25
⇒ D = 201
किसी संख्या को 385 से गुणनखंडित किया जाता है. भागफल 102, पहला शेष 4, दूसरा शेष 6 तथा तीसरा शेष 10 है. संख्या ज्ञात करें.
Let the number be z. Now
385 = 5 × 7 ×11
x = 11 × 102 + 10 = 1132
y = 7x + 6 = 7 × 1132 + 6 = 7930
z = 5y + 4 = 5 × 7930 + 4 = 39654
संख्या 62684*$, 8 और 5 से विभाज्य है तो * और $ के स्थान कौन-सा अंक आएगा?
Since the given number is divisible by 5, so 0 or 5 must come in place of $. But, a number ending with 5 is never divisible by 8. So, 0 will replace $.
Now, the number formed by the last three digits is 4*0, which becomes divisible by 8, if * is replaced by 4.
Hence, digits in place of * and $ are 4 and 0 respectively.
803642 में न्यूनतम कौन-सी संख्या जोड़ी जाए ताकि यह 11 से पूर्णरूपेण विभाजित जो जाए?
On dividing 803642 by 11, we get remainder = 4.
∴ Required number to be added = (11 – 4) = 7.
किसी संख्या को 4, 5 और 6 से विभाजित करने पर शेष क्रमशः 2, 3 और 4 आता है. संख्या हैः
z = 6 × 1 + 4 = 10
y = 5 × 10 + 3 = 53
x = 4 × 53 + 2 = 214
6709 में कौन-सी छोटी-से-छोटी संख्या घटायी जाए ताकि यह 9 से विभाजित हो जाए?
On dividing 6709 by 9, we get remainder = 4.
∴ Required number to be subtracted = 4.
वह कौन-सी छोटी-से-छोटी संख्या 427398 में से घटायी जाए ताकि यह 15 से पूर्णरूपेण विभाजित हो जाए?
On dividing 427398 by 15, we get remainder = 3.
∴ Required number to be subtracted = 3.
जब किसी संख्या को 31 से विभाजित किया जाता है तो शेष 29 आता है तब उसी संख्या को 16 से विभाजित करने पर शेष क्या आएगा?
Number = (31 × Q) + 29.
Given data is inadequate.
संख्या A4571203B, 18 से पूर्णरूपेण विभाजित है. A और B का मान ज्ञात करें.
The number is divisible by 18 i.e., it has to be divisible by 2 and 9.
∴ B may be 0, 2, 4, 6, 8.
A + 4 + 5 + 7 + 1 + 2 + 0 + 3 + B
= A + B + 22.
A + B could be 5, 14 (as the sum can’t exceed 18, since A and B are each less than 10).
So, A and B can take the values of 6, 8.
उन सभी दो अंकीय संख्याओं का योग क्या होगा जिसे 7 से विभाजित करने पर शेष 3 आता है?
Number is of the form
= 7n + 3; n = 1 to 13
So,
यदि a, a + 2 और a + 4 अभाज्य संख्याएँ है तब a का संभावित हल होगा?
a, a + 2, a + 4 are prime numbers.
Put value of ‘a’ starting from 3, we will have 3, 5 and 7 as the only set of prime numbers satisfying the given relationships.
एक लड़का 987 को किसी संख्या से गुणा करता है तो गुणनफल 559981 प्राप्त होता है. यदि गुणनफल में दोनों 9 गलत हो और अन्य अंक सही हो तो सही उत्तर होगाः
987 = 3 × 7 ×47
So, required number must be divisible by each one of 3, 7, 47.
None of the numbers in (a) and (b) are divisible by 3, while (d) is not divisible by 7.
∴ Correct answer is (c).
एक संख्या है जो एक अंक को 6 बार (उदाहरण: 111111, 444444 इत्यादि) लिखते हुए बनाई गई है. ऐसी संख्या सदैव विभाजित होगीः
Since 111111 is divisible by each one of 7, 11 and 13, so each one of given type of numbers is divisible by each one of 7, 11, and 13. as we may write, 222222 = 2 × 111111, 333333 = 3 × 111111, etc.
7⁸⁴ को 342 से विभाजित करने पर शेषफल प्राप्त होगाः
= (7³)²⁸/(7³ - 1)
= {(7³)²⁸ - 1 + 1}/(7³ - 1)
= {(7³)²⁸ - 1}/(7³ - 1) + 1/(7³ - 1)
((7³)²⁸ – 1) / (7³ – 1) is always divisible as it is in the form of (xn – yn) / (x – y), hence the remainder is 1.
300 और 400 के बीच में ऐसी कितनी संख्याएँ है जिनमें 7 केवल एक बार आता है?
The required numbers are 307, 317, 327, 337, 347, 357, 367, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 378, 379, 387, 397.
Hence there are 18 numbers.
81 से चार लगातार छोटी पूर्णांक संख्याएँ एवं 81 से चार लगातार बड़ी पूर्णांक संख्याओं का योग, निम्न में से किस संख्या द्वारा विभाजित होगी?
Here, number of integers next higher and next lower are same (=4).
Now, since 81 is divisible by 9, therefore, the sum is divisible by 9
किसी संख्या का एक तिहाई उस संख्या से 30 कम है. वह संख्या है:
Let the original number is x. Then
1 से 500 के बीच, 13 से विभाजित होने वाली कितनी संख्याएं हंै?
∴
यदि 5432* 7, 9 से विभाजित है तो * के स्थान पर हैः
A number is divisible by 9 if the sum of its digits is divisible by 9.
Here 5 + 4 + 3 + 2 + * + 7 = 21 + *
So, the digit in place of * is 6
यदि भिन्न ½, ⅔, ⁵⁄₉, ⁶⁄₁₃ और ⁷⁄₉ अपने मूल्य के आरोही क्रम में सजाए जाए तो इनमें से कौन-सा चौथा भिन्न होगा?
Decimal equivalents of given fractions:
½ = 0.5; ⅔ = 0.67; ⁵⁄₉ = 0.56; ⁶⁄₁₃ = 0.46; ⁷⁄₉ = 0.78
∴ 0.46 < 0.5 < 0.56 < 0.67 < 0.78
⁶⁄₁₃ < ½ < ⁵⁄₉ < ⅔ < ⁷⁄₉
∴ Fourth fraction = ⅔
यदि इन भिन्नों ⅞, ⅘, ⁸⁄₁₄, ⅗ और ⅚ को अवरोही क्रम में लगाया जाए तो शृंखला में अंतिम कौन-सा होगा?
Decimal equivalents of fractions
⅞ = 0.875, ⅘= 0.8, ⁸⁄₁₄ = 0.57, ⅗= 0.6, ⅚ = 0.83
∴ 0.875 > 0.83 > 0.8 > 0.6 > 0.57
∴ ⅞ > ⅚ > ⅘ > ⅗ > ⁸⁄₁₄
यदि भिन्न ⅖, ¾, ⅘, ⁵⁄₇ और ⁶⁄₁₁ को उसके मान के आरोही क्रम में लगाया जाए, तो चौथा भिन्न कौन-सा होगा?
Decimal equivalent of given fractions:
⅖ = 0.4; ¾ = 0.75; ⅘ = 0.8; ⁵⁄₇ = 0.714; ⁶⁄₁₁ = 0.545
Clearly, 0.4 < 0.545 < 0.714 < 0.75 < 0.8
∴ ⅖ < ⁶⁄₁₁ < ⁵⁄₇ < ¾ < ⅘
⅗, ⅛, ⁸⁄₁₁, ⁴⁄₉, ²⁄₇, ⁵⁄₇ और ⁵⁄₁₂ इन सभी भिन्नों को उनके मूल्य के अवरोही क्रम में लगाया जाए तो कौन-सा तीसरा होगा?
⁸⁄₁₁ = 0.727, ⁵⁄₇ = 0.714, ⅗ = 0.6, ⁴⁄₉ = 0.44, ⁵⁄₁₂ = 0.416, ²⁄₇ = 0.285, ⅛ = 0.125
Descending order :
⁸⁄₁₁, ⁵⁄₇, ⅗, ⁴⁄₉, ⁵⁄₁₂, ²⁄₇, ⅛
So, ⅗ is the third.
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