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1. Question
निर्देश (Q. 1- 4): एक घन के सभी फलकों को लाल रग से पेन्ट किया जाता है। इसे 64 बराबर आकार वाले छोटे-छोटे घनों में काटा जाता है। ऐसे कितने घन हैं जिनके फलक पेन्ट किए हुए नहीं हैं?
Hint
Since, there are 64 smaller cubes of equal size, therefore, n = no. of divisions on the face of undivided cube = 4
no. of cubes with no face coloured = (n – 2)³ = (4 – 2)³ = 8 - Question 2 of 20
2. Question
निर्देश (Q. 1- 4): एक घन के सभी फलकों को लाल रग से पेन्ट किया जाता है। इसे 64 बराबर आकार वाले छोटे-छोटे घनों में काटा जाता है। ऐसे कितने घन हैं जिनके केवल एक फलक पेन्ट किए हुए हैं?
Hint
Since, there are 64 smaller cubes of equal size, therefore, n = no. of divisions on the face of undivided cube = 4
no. of cubes with one face painted = (n – 2)² × 6 = (4 – 2)² × 6 = 24 - Question 3 of 20
3. Question
निर्देश (Q. 1- 4): एक घन के सभी फलकों को लाल रग से पेन्ट किया जाता है। इसे 64 बराबर आकार वाले छोटे-छोटे घनों में काटा जाता है। ऐसे कितने घन हैं जिनके दो विपरीत फलक लाल रंग का हैं?
Hint
Since, there are 64 smaller cubes of equal size, therefore, n = no. of divisions on the face of undivided cube = 4
no. of cubes with two red opposite faces = 0
(none of the cubes can have its opposite faces coloured) - Question 4 of 20
4. Question
निर्देश (Q. 1- 4): एक घन के सभी फलकों को लाल रग से पेन्ट किया जाता है। इसे 64 बराबर आकार वाले छोटे-छोटे घनों में काटा जाता है। ऐसे कितने घन हैं जिनके तीन फलक पेन्ट किए हुए हैं?
Hint
Since, there are 64 smaller cubes of equal size, therefore, n = no. of divisions on the face of undivided cube = 4
Number of cubes with three faces coloured = 4(cubes at top corners) + 4(cubes at bottom corners) = 8 - Question 5 of 20
5. Question
निर्देश (Qs. 5 – 9): एक लकड़ी के घन के चार आसन्न फलकों को नीले रंग से और दो विपरीत यानी उपरी और निचली फलकों को हरे रंग से पेन्ट किया जाता है। उसके बाद इसे ऊर्ध्वाधर रूप से चार बराबर भागों में (उपर से नीचे) और क्षैतिज रूप से दो बराबर भागों में नीचे दर्शायी गयी आकृति के अनुसार काटा जाता है। (नीचे दी गई आकृति में टुटी हुई रेखा काटे जाने वाले स्थान को दर्शाती है)। आकृति का ध्यानपूर्वक अध्ययन कर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:
ऐसे कितने घन हैं जिनका केवल एक फलक नीला रंग से पेन्ट किया हुआ है?Hint
The figure may be analysed by dividing it into three horizontal layers :
In the top layer, the central cube has only one face painted green, the four cubes at the corner have three faces painted one face green and two faces blue. The remaining four cubes have two faces painted one green and one blue.
In the middle layer, the central cube has no any face painted, four cubes at the corners have two faces painted blue and the remaining four cubes have one face painted blue.
In the bottom layer, the central cube has one face painted green and four cubes at the corners have three faces painted–two blue and one green. The remaining four cubes have two faces painted-one blue and one green.
There are four cubes in the middle layer which have one face painted only in blue. - Question 6 of 20
6. Question
निर्देश (Qs. 5 – 9): एक लकड़ी के घन के चार आसन्न फलकों को नीले रंग से और दो विपरीत यानी उपरी और निचली फलकों को हरे रंग से पेन्ट किया जाता है। उसके बाद इसे ऊर्ध्वाधर रूप से चार बराबर भागों में (उपर से नीचे) और क्षैतिज रूप से दो बराबर भागों में नीचे दर्शायी गयी आकृति के अनुसार काटा जाता है। (नीचे दी गई आकृति में टुटी हुई रेखा काटे जाने वाले स्थान को दर्शाती है)। आकृति का ध्यानपूर्वक अध्ययन कर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:
ऐसे कितने घन हैं जिनका केवल एक फलक हरा रंग से पेन्ट किया हुआ है?Hint
The figure may be analysed by dividing it into three horizontal layers :
In the top layer, the central cube has only one face painted green, the four cubes at the corner have three faces painted one face green and two faces blue. The remaining four cubes have two faces painted one green and one blue.
In the middle layer, the central cube has no any face painted, four cubes at the corners have two faces painted blue and the remaining four cubes have one face painted blue.
In the bottom layer, the central cube has one face painted green and four cubes at the corners have three faces painted–two blue and one green. The remaining four cubes have two faces painted-one blue and one green.
There is one (central) cube in the top layer and one (central) cube in the bottom layer which have one face painted only in Green. - Question 7 of 20
7. Question
निर्देश (Qs. 5 – 9): एक लकड़ी के घन के चार आसन्न फलकों को नीले रंग से और दो विपरीत यानी उपरी और निचली फलकों को हरे रंग से पेन्ट किया जाता है। उसके बाद इसे ऊर्ध्वाधर रूप से चार बराबर भागों में (उपर से नीचे) और क्षैतिज रूप से दो बराबर भागों में नीचे दर्शायी गयी आकृति के अनुसार काटा जाता है। (नीचे दी गई आकृति में टुटी हुई रेखा काटे जाने वाले स्थान को दर्शाती है)। आकृति का ध्यानपूर्वक अध्ययन कर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:
कुल मिलाकर कितने घन बनेंगे?Hint
The figure may be analysed by dividing it into three horizontal layers :
In the top layer, the central cube has only one face painted green, the four cubes at the corner have three faces painted one face green and two faces blue. The remaining four cubes have two faces painted one green and one blue.
In the middle layer, the central cube has no any face painted, four cubes at the corners have two faces painted blue and the remaining four cubes have one face painted blue.
In the bottom layer, the central cube has one face painted green and four cubes at the corners have three faces painted–two blue and one green. The remaining four cubes have two faces painted-one blue and one green.
There are 9 cubes in each of the three layers. Thus there are 27 cubes in all. - Question 8 of 20
8. Question
निर्देश (Qs. 5 – 9): एक लकड़ी के घन के चार आसन्न फलकों को नीले रंग से और दो विपरीत यानी उपरी और निचली फलकों को हरे रंग से पेन्ट किया जाता है। उसके बाद इसे ऊर्ध्वाधर रूप से चार बराबर भागों में (उपर से नीचे) और क्षैतिज रूप से दो बराबर भागों में नीचे दर्शायी गयी आकृति के अनुसार काटा जाता है। (नीचे दी गई आकृति में टुटी हुई रेखा काटे जाने वाले स्थान को दर्शाती है)। आकृति का ध्यानपूर्वक अध्ययन कर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:
ऐसे घनों की संख्या ज्ञात करें जिनके कम-से-कम तीन फलक पेन्ट किए हुए हैं?Hint
The figure may be analysed by dividing it into three horizontal layers :
In the top layer, the central cube has only one face painted green, the four cubes at the corner have three faces painted one face green and two faces blue. The remaining four cubes have two faces painted one green and one blue.
In the middle layer, the central cube has no any face painted, four cubes at the corners have two faces painted blue and the remaining four cubes have one face painted blue.
In the bottom layer, the central cube has one face painted green and four cubes at the corners have three faces painted–two blue and one green. The remaining four cubes have two faces painted-one blue and one green.
number of cubes with three sides painted = 4[cubes in the top corners + 4[cubes in the bottom corners] = 8 cubes - Question 9 of 20
9. Question
निर्देश (Qs. 5 – 9): एक लकड़ी के घन के चार आसन्न फलकों को नीले रंग से और दो विपरीत यानी उपरी और निचली फलकों को हरे रंग से पेन्ट किया जाता है। उसके बाद इसे ऊर्ध्वाधर रूप से चार बराबर भागों में (उपर से नीचे) और क्षैतिज रूप से दो बराबर भागों में नीचे दर्शायी गयी आकृति के अनुसार काटा जाता है। (नीचे दी गई आकृति में टुटी हुई रेखा काटे जाने वाले स्थान को दर्शाती है)। आकृति का ध्यानपूर्वक अध्ययन कर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:
ऐसे घनों की संख्या ज्ञात करें जिनका कोई भी फलक पेन्ट किया हुआ नहीं है?Hint
The figure may be analysed by dividing it into three horizontal layers :
In the top layer, the central cube has only one face painted green, the four cubes at the corner have three faces painted one face green and two faces blue. The remaining four cubes have two faces painted one green and one blue.
In the middle layer, the central cube has no any face painted, four cubes at the corners have two faces painted blue and the remaining four cubes have one face painted blue.
In the bottom layer, the central cube has one face painted green and four cubes at the corners have three faces painted–two blue and one green. The remaining four cubes have two faces painted-one blue and one green.
Only one central cube in the middle layer has no faces painted at all. - Question 10 of 20
10. Question
निर्देश (Qs. 10 – 12): एक घन के तीन आसन्न फलकों को नीला रंग से पेन्ट किया गया है। इसके बाद घन को चार बराबर आकार वाले घनाभों (एक बार क्षैतिज और एक बार ऊर्ध्वाधर) में काटा जाता है। इनमें से प्रत्येक घनाभ के बिना पेन्ट किए गए फलकों को गुलाबी रंग से पेन्ट किया जाता है और तब उसे पहले की तरह चार बराबर आकार वाले घनाभों में काट लिया जाता है।ऐसे घनाभों की संख्या ज्ञात करें जिनके दो फलक गुलाबी रंग का है?
Hint
The adjoining figure shows the cube coloured and cut into four cuboids as stated in the question.
Four cuboids are obtained as shown below :
Now, all uncoloured faces of each cuboid are coloured with pink and then again cut each cuboid into four cuboids.
In set I and IV : 2 cuboids have 2 faces blue, 2 faces pink and 2 faces uncoloured each. 2 cuboids have 1 face blue, 3 faces pink and 2 faces uncoloured each.
In set II : 2 cuboids have 2 faces blue, 2 faces pink and 2 faces uncoloured each.
1 cuboid has 3 faces blue, 1 face pink and 2 faces uncoloured each.
1 cuboid has 1 face blue, 3 faces pink and 2 faces uncoloured each.
In set III : All the four cuboids have 1 face blue, 3 faces pink and 2 faces uncoloured each.
There are 2 cuboids in set I, 2 cuboids in set II and 2 cuboids in set IV having 2 faces pink in each. Thus, there are 2 + 2 + 2 = 6 such cubes. - Question 11 of 20
11. Question
निर्देश (Qs. 10 – 12): एक घन के तीन आसन्न फलकों को नीला रंग से पेन्ट किया गया है। इसके बाद घन को चार बराबर आकार वाले घनाभों (एक बार क्षैतिज और एक बार ऊर्ध्वाधर) में काटा जाता है। इनमें से प्रत्येक घनाभ के बिना पेन्ट किए गए फलकों को गुलाबी रंग से पेन्ट किया जाता है और तब उसे पहले की तरह चार बराबर आकार वाले घनाभों में काट लिया जाता है।ऐसे घनाभों की संख्या ज्ञात करें जिनके तीन फलक गुलाबी रंग का है?
Hint
The adjoining figure shows the cube coloured and cut into four cuboids as stated in the question.
Four cuboids are obtained as shown below :
Now, all uncoloured faces of each cuboid are coloured with pink and then again cut each cuboid into four cuboids.
In set I and IV : 2 cuboids have 2 faces blue, 2 faces pink and 2 faces uncoloured each. 2 cuboids have 1 face blue, 3 faces pink and 2 faces uncoloured each.
In set II : 2 cuboids have 2 faces blue, 2 faces pink and 2 faces uncoloured each.
1 cuboid has 3 faces blue, 1 face pink and 2 faces uncoloured each.
1 cuboid has 1 face blue, 3 faces pink and 2 faces uncoloured each.
In set III : All the four cuboids have 1 face blue, 3 faces pink and 2 faces uncoloured each.
There are 2 cuboids in set I, 1 cuboid in set II, 4 cuboids in set III and 2 cuboids in set IV having 3 faces pink each. Thus, there are 9 such cuboids. - Question 12 of 20
12. Question
निर्देश (Qs. 10 – 12): एक घन के तीन आसन्न फलकों को नीला रंग से पेन्ट किया गया है। इसके बाद घन को चार बराबर आकार वाले घनाभों (एक बार क्षैतिज और एक बार ऊर्ध्वाधर) में काटा जाता है। इनमें से प्रत्येक घनाभ के बिना पेन्ट किए गए फलकों को गुलाबी रंग से पेन्ट किया जाता है और तब उसे पहले की तरह चार बराबर आकार वाले घनाभों में काट लिया जाता है।ऐसे घनाभों की संख्या ज्ञात करें जिनके तीन फलक नीले रंग का है?
Hint
The adjoining figure shows the cube coloured and cut into four cuboids as stated in the question.
Four cuboids are obtained as shown below :
Now, all uncoloured faces of each cuboid are coloured with pink and then again cut each cuboid into four cuboids.
In set I and IV : 2 cuboids have 2 faces blue, 2 faces pink and 2 faces uncoloured each. 2 cuboids have 1 face blue, 3 faces pink and 2 faces uncoloured each.
In set II : 2 cuboids have 2 faces blue, 2 faces pink and 2 faces uncoloured each.
1 cuboid has 3 faces blue, 1 face pink and 2 faces uncoloured each.
1 cuboid has 1 face blue, 3 faces pink and 2 faces uncoloured each.
In set III : All the four cuboids have 1 face blue, 3 faces pink and 2 faces uncoloured each.
There is only one cuboid having three faces blue. This cuboid lies in set II. - Question 13 of 20
13. Question
निर्देश (Qs. 13 – 17): एक घन के दो आसन्न फलकों को लाल रंग से और लाल फलकों के विपरीत फलकों को काले रंग से तथा शेष फलकों को हरे रंग से पेन्ट किया जाता है। अब इस घन को 64 बराबर आकार वाले छोटे-छोटे घनों में काट लिया जाता है।ऐसे घनों की संख्या ज्ञात करें जिसका कोई भी फलक पेन्ट किया हुआ नहीं है?
Hint
Here,
Faces ABCD, BCFG are painted with red.
Faces ADEH, EFGH are painted with black.
Faces CDEF, ABGH are painted with green.
No. of divisions on the faces of cubes = 4
Now, the figure may be analysed by dividing it into four horizontal layers :
In Layer I : Four central cubes have only one face painted green, four cubes at the corners have three faces painted red, green and black. Out of the remaining 8 cubes, four cubes have two faces painted red and green and four cubes have two faces painted black and green.
In Layer II and III : Four central cubes have no faces painted, four cubes at the corners have two faces painted red and black. Out of the remaining 8 cubes four cubes have only one face painted black and four cubes have only one face painted red.
In Layer IV : Four central cubes have only one face painted green, four cubes at the corners have three faces painted red, green and black. Out of the remaining 8 cubes four cubes have two faces painted green and black and four cubes have two faces painted red and green.
There are 8 cubes having no face painted. - Question 14 of 20
14. Question
निर्देश (Qs. 13 – 17): एक घन के दो आसन्न फलकों को लाल रंग से और लाल फलकों के विपरीत फलकों को काले रंग से तथा शेष फलकों को हरे रंग से पेन्ट किया जाता है। अब इस घन को 64 बराबर आकार वाले छोटे-छोटे घनों में काट लिया जाता है।ऐसे घनों की संख्या ज्ञात करें जिसका केवल एक फलक पेन्ट किया हुआ है?
Hint
Here,
Faces ABCD, BCFG are painted with red.
Faces ADEH, EFGH are painted with black.
Faces CDEF, ABGH are painted with green.
No. of divisions on the faces of cubes = 4
Now, the figure may be analysed by dividing it into four horizontal layers :
In Layer I : Four central cubes have only one face painted green, four cubes at the corners have three faces painted red, green and black. Out of the remaining 8 cubes, four cubes have two faces painted red and green and four cubes have two faces painted black and green.
In Layer II and III : Four central cubes have no faces painted, four cubes at the corners have two faces painted red and black. Out of the remaining 8 cubes four cubes have only one face painted black and four cubes have only one face painted red.
In Layer IV : Four central cubes have only one face painted green, four cubes at the corners have three faces painted red, green and black. Out of the remaining 8 cubes four cubes have two faces painted green and black and four cubes have two faces painted red and green.
Cubes only one face painted=
or (n – 2)² × 6 = 24 - Question 15 of 20
15. Question
निर्देश (Qs. 13 – 17): एक घन के दो आसन्न फलकों को लाल रंग से और लाल फलकों के विपरीत फलकों को काले रंग से तथा शेष फलकों को हरे रंग से पेन्ट किया जाता है। अब इस घन को 64 बराबर आकार वाले छोटे-छोटे घनों में काट लिया जाता है।ऐसे घनों की संख्या ज्ञात करें जिनके तीन से कम फलक पेन्ट किए हुए हैं?
Hint
Here,
Faces ABCD, BCFG are painted with red.
Faces ADEH, EFGH are painted with black.
Faces CDEF, ABGH are painted with green.
No. of divisions on the faces of cubes = 4
Now, the figure may be analysed by dividing it into four horizontal layers :
In Layer I : Four central cubes have only one face painted green, four cubes at the corners have three faces painted red, green and black. Out of the remaining 8 cubes, four cubes have two faces painted red and green and four cubes have two faces painted black and green.
In Layer II and III : Four central cubes have no faces painted, four cubes at the corners have two faces painted red and black. Out of the remaining 8 cubes four cubes have only one face painted black and four cubes have only one face painted red.
In Layer IV : Four central cubes have only one face painted green, four cubes at the corners have three faces painted red, green and black. Out of the remaining 8 cubes four cubes have two faces painted green and black and four cubes have two faces painted red and green.
There are 24 cubes having only one face painted and 24 cubes having only two faces painted. - Question 16 of 20
16. Question
निर्देश (Qs. 13 – 17): एक घन के दो आसन्न फलकों को लाल रंग से और लाल फलकों के विपरीत फलकों को काले रंग से तथा शेष फलकों को हरे रंग से पेन्ट किया जाता है। अब इस घन को 64 बराबर आकार वाले छोटे-छोटे घनों में काट लिया जाता है।ऐसे घनों की संख्या ज्ञात करें जिनके तीन फलक पेन्ट किए हुए हैं?
Hint
Here,
Faces ABCD, BCFG are painted with red.
Faces ADEH, EFGH are painted with black.
Faces CDEF, ABGH are painted with green.
No. of divisions on the faces of cubes = 4
Now, the figure may be analysed by dividing it into four horizontal layers :
In Layer I : Four central cubes have only one face painted green, four cubes at the corners have three faces painted red, green and black. Out of the remaining 8 cubes, four cubes have two faces painted red and green and four cubes have two faces painted black and green.
In Layer II and III : Four central cubes have no faces painted, four cubes at the corners have two faces painted red and black. Out of the remaining 8 cubes four cubes have only one face painted black and four cubes have only one face painted red.
In Layer IV : Four central cubes have only one face painted green, four cubes at the corners have three faces painted red, green and black. Out of the remaining 8 cubes four cubes have two faces painted green and black and four cubes have two faces painted red and green.
Cubes with three faces painted = 8 - Question 17 of 20
17. Question
निर्देश (Qs. 13 – 17): एक घन के दो आसन्न फलकों को लाल रंग से और लाल फलकों के विपरीत फलकों को काले रंग से तथा शेष फलकों को हरे रंग से पेन्ट किया जाता है। अब इस घन को 64 बराबर आकार वाले छोटे-छोटे घनों में काट लिया जाता है।ऐसे घनों की संख्या ज्ञात करें, जिनके एक फलक हरे रंग से और आसन्न फलकों में से एक फलक काला या लाल रंग से पेन्ट किया हुआ है?
Hint
Here,
Faces ABCD, BCFG are painted with red.
Faces ADEH, EFGH are painted with black.
Faces CDEF, ABGH are painted with green.
No. of divisions on the faces of cubes = 4
Now, the figure may be analysed by dividing it into four horizontal layers :
In Layer I : Four central cubes have only one face painted green, four cubes at the corners have three faces painted red, green and black. Out of the remaining 8 cubes, four cubes have two faces painted red and green and four cubes have two faces painted black and green.
In Layer II and III : Four central cubes have no faces painted, four cubes at the corners have two faces painted red and black. Out of the remaining 8 cubes four cubes have only one face painted black and four cubes have only one face painted red.
In Layer IV : Four central cubes have only one face painted green, four cubes at the corners have three faces painted red, green and black. Out of the remaining 8 cubes four cubes have two faces painted green and black and four cubes have two faces painted red and green.
Cubes with one face green and one of the adjacent faces black or red = 8 (Top Layer) + 8 (Bottom Layer) = 16. - Question 18 of 20
18. Question
एक घन के दो आसन्न फलकों को लाल रंग से, दो विपरीत फलकों को पीले रंग से और शेष फलकों को हरे रंग से पेन्ट किया जाता है। उसके बाद इसे 64 बराबर घनों में काट दिया गया। कितने घनों के केवल एक फलक लाल रंग का है?
Hint
Let faces ABCD, ABGH and CDEF are painted with red colour.
Faces BCFG and ADEH are painted with yellow and EFGH is painted with green colour.
Clearly the cubes which have only one red coloured face and all other faces uncoloured are the four central cubes at each of the three faces ABCD, ABGH and CDEF. Thus, there are 4 × 3 = 12 such cubes. - Question 19 of 20
19. Question
1 × 1 × 1 माप वाले घनों के संयोजन से बने 10 × 10 × 10 माप वाले घन में से छोटे घनों का एक स्तर (one layer) निकाल लिया जाता है। अब इस नये घन में 1 × 1 × 1 माप वाला कितना घन उपस्थित होगा?
Hint
A 10 × 10 × 10 cube has 10 cubes of 1 × 1 × 1 cubes along its length, breadth and width each. If we remove a layer of 1 × 1 × 1 cubes (the smaller cubes) then the new cube will have following dimensions :
length = 10 – 1 – 1 = 8; breadth = 10 – 1 – 1 = 8 and
width = 10 – 1 – 1 = 8.
So the number of 1 × 1 × 1 cubes in this 8 × 8 × 8 cube
= 8 × 8 × 8 = 512. - Question 20 of 20
20. Question
1 × 1 × 1 माप वाले घन का उपयोग कर एक 5 × 5 × 5 माप वाला घन बनाया जाता है। यदि 5 × 5 × 5 माप वाले इस घन में 1 × 1 × 1 माप वाले घन का एक अन्य स्तर मिला देते हैं, तो नये बने घन में कितने 1 × 1 × 1 माप वाले घन उपस्थित होंगे?
Hint
A 5 × 5 × 5 cube has 5 cubes of 1 × 1 × 1 cubes along its length, breadth and width each. If we add a layer of 1 × 1 × 1 cubes (the smaller cubes) then the new cube will have following dimensions :
length = 5 + 1 + 1 = 7; breadth = 5 + 1 + 1 = 7 and
width = 5 + 1 + 1 = 7.
So the number of 1 × 1 × 1 cubes in this 7 × 7 × 7 cube
= 7 × 7 × 7 = 343.