Mensuration 1
एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज की परिमिति 20 मीटर है. इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें.
In an isoscele right angled triangle,
Area = 1/23.3 × perimeter²
= 1/23.3 × 20² = 17.167 m²
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 615 मीटर² है. यदि इसकी एक भुजा 123 मीटर है तो उस लंब की लंबाई ज्ञात करें जो इस भुजा पर सम्मुख शीर्ष से डाला गया है.
In a triangle,
Area
⇒
∴ Length of perpendicular
= 10 m.
किसी समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर खींचे गए लंब की उँचाई 8 सेमी है और त्रिभुज की परिमिति 32 सेमी है. त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें.
Let ABC be the isosceles triangle and AD be the altitude.
Let AB = AC = x.
Then, BC = (32 – 2x).
Since, in an isosceles triangle, the altitude bisects the base. So,
BD = DC = (16 – x).
In ∆ADC, AC² = AD² + DC²
⇒ x² = (8)² + (16 – x)²
⇒ 32x = 320
⇒ x = 10.
∴ BC = (32 – 2x)
= (32 – 20) cm
= 12 cm.
Hence, required area
=
एक ∆ABC में बिन्दु P, Q और R क्रमशः भुजा AB, BC और CA का मध्य-बिन्दु है. त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 20 वर्ग इकाई है, तो त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल ज्ञात करें.
Consider for an equilateral triangle. Hence ∆ABC consists of 4 such triangles with end points on mid points AB, BC and CA
⇒ ¼ ar (∆ABC) = ar (∆PQR)
⇒ ar (∆PQR) = 5 sq. units
5 इंच वाले वर्ग से 1 इंच वाले कितने छोटे वर्ग बन सकते हैं?
Required number of squares 5²/1² = 25
यदि दो वर्गों के क्षेत्रफल का अनुपात 9:1 है, तो उनके परिमितियों का अनुपात होगाः
Let the area of two squares be 9x and x respectively.
So, sides of both squares will be
and respectively. [since, side = ]
Now, perimeters of both squares will be
and respectively. [since, perimeter = 4 × side]
Thus, ratio of their perimeters
= 3: 1
एक वर्गाकार क्षेत्र का क्षेत्रफल 576 किमी² है. 12 किमी/घंटा की चाल से एक घोड़े को इसके चारों ओर दौड़ने में कितना समय लगेगा?
Area of field = 576 km². Then,
each side of field
Distance covered by the horse Perimeter of square field
= 24 × 4 = 96 km
∴
= 96/12= 8 h
एक आयताकार पार्किंग स्पेश की तीन भुजाओं को पेंट के द्वारा चिह्नित किया गया है. यदि बिना पेंट किए गए भुजा की लंबाई 9 फीट और पेंट किए गए भुजाओं की लंबाईयों का योग 37 फीट है, तो वर्ग फीट में पार्किंग स्पेश का क्षेत्रफल क्या होगा?
Clearly, we have:
ℓ = 9 and ℓ + 2b
= 37 or b = 14.
∴ Area = (ℓ × b)
= (9 × 14) sq. ft.
= 126 sq. ft.
एक किसान 100 वर्ग मीटर क्षेत्रफल वाला आयताकार सब्जी का बगीचा लगाना चाहता है. चूँकि उसके पास 30 मीटर ही तार है जिसे वह तीन तरफ से घेरने में उपयोग करता है और चौथी तरफ वह अपने घर के दीवार का उपयोग करता है. बगीचे की माप क्या है?
We have: 2b + ℓ = 30
⇒ ℓ = 30 – 2b.
Area = 100 m²
⇒ ℓ × b = 100
⇒ b(30 – 2b) = 100
⇒ b² – 15b + 50 = 0
⇒ (b – 10) (b – 5) = 0
⇒ b = 10 or b = 5.
When b = 10, ℓ = 10 and when b = 5, ℓ = 20.
Since the garden is rectangular,
so its dimension is 20 m × 5 m.
15 मीटर × 10 मीटर माप वाले एक आयताकार प्लाॅट के बाहरी ओर घासीय रास्ता है. यदि घासीय रास्ते का क्षेत्रफल 54 मीटर² है, तो रास्ते की चौड़ाई ज्ञात करें.
Let the width of the path = W m
then, length of plot with path
= (15 + 2w) m
and breadth of plot with path
= (10 + 2 W) m
Therefore, Area of rectangular plot (without path)
= 15 × 10 = 150 m²
and Area of rectangular plot (with path)
= 150 + 54 = 204 m²
Hence, (15 + 2w) × (10 + 2w) = 204
⇒ 4w² + 50 w – 54 = 0
⇒ 2w² + 25 w – 27 = 0
⇒ (w – 2) (w + 27) = 0
Thus w = 2 or –27
∴ with of the path = 2 m
एक आयताकार मैदान का क्षेत्रफल 144 मीटर² है. यदि इस मैदान की लंबाई 6 मीटर अधिक होता तो इसका क्षेत्रफल 54 मीटर² अधिक होता. मैदान की वास्तविक लंबाई हैः
Let the length and breadth of the original rectangular field be x m and y m respectively.
Area of the original field
= x × y = 144 m²
∴ … (i)
If the length had been 6 m more, then area will be
(x + 6) y = 144 + 54
⇒ (x + 6) y = 198 … (ii)
Putting the value of x from eq (i) in eq (ii), we get
⇒ 144 + 6y = 198
⇒ 6y = 54 ⇒ y = 9 m
Putting the value of y in eq (i) we get x = 16 m
एक खेल के मैदान की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः 36 मीटर और 21 मीटर है. खेल के मैदान की सीमा रेखा के चारों ओर 3 मीटर की दूरी पर पोलों को लगाना है. आवश्यक पोलों की संख्या होगीः
Given, playground is rectangular.
Length = 36 m, Breadth = 21 m
Now, perimeter of playground
= 2( 21 + 36) = 114
Now, poles are fixed along the boundary at a distance 3m.
∴ Required no. of poles = ¹¹⁴⁄₃ = 38
₹4.50 प्रति मीटर की दर से 18 मीटर लंबे कमरे में 75 सेमी चौड़ा कालीन लगाने का खर्च ₹810 है. कमरे की चौड़ाई हैः
Length of the carpet
Area of the room = Area of the carpet
∴ Breadth of the room
= 7.5 m.
यदि किसी आयत की परिमिति और विकर्ण क्रमशः 14 सेमी और 5 सेमी हो, तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें.
In a rectangle,
49 = 25 + 2 × area
169 मीटर² क्षेत्रफल वाले वर्गाकार कालीन के एक किनारे के 2 मीटर काटने पर वह एक आयताकार कमरे में फिट बैठ जाता है. आयताकार कमरे का क्षेत्रफल क्या है?
Side of square carpet
After cutting of one side,
Measure of one side
= 13 – 2 = 11 m
and other side = 13 m (remain same)
∴ Area of rectangular room
= 13 × 11 = 143 m²
30 इंच × 20 इंच माप वाला एक फोटो 2½ इंच चौड़े फ्रेम में है. फोटो का क्षेत्रफल, फ्रेम के क्षेत्रफल का लगभग कितना गुना है?
Length of frame
= 30 + 2.5 × 2 = 35 inch
Breadth of frame
= 20 + 2.5 × 2 = 25 inch
Now, area of picture
= 30 × 20 = 600 sq. inch
Area of frame
= (35 × 2.5) + (25 × 2.5) = 150
एक आयताकार कमरे की सतह 15 मीटर लंबा और 12 मीटर चौड़ा है. इस कमरे के चारों ओर 2 मीटर चौड़ा बरामदा है. बरामदे का क्षेत्रफल है.
Area of the outer rectangle = 19 × 16 = 304 m²
Area of the inner rectangle
= 15 × 12 = 180 m²
Required area
= (304 – 180) = 124 m²
एक टंकक 12 इंच × 5 इंच माप का पेपर उपयोग में लाता है जिसमें वह ऊपर और नीचे 1 इंच मार्जिन छोड़ना है जबकि बांई और दाई ओर की मार्जिन ½ इंच है. उसे टाईपिंग के लिए कितने हिस्से उपलब्ध है?
Area of paper
= 12 × 5 = 60 sq. inch
Area of typing part
= (12 – 2) × (5 – 1)
= (10 × 4) sq. inch
∴ Required fraction
70 मीटर × 30 मीटर माप वाले एक आयताकार लाॅन के बीचो-बीच 5 मीटर चौड़ी दो रोड जा रही है जिसमें से एक लम्बाई के समांतर और दूसरी चौड़ाई के समांतर है. ₹4 प्रति वर्ग मीटर की दर रोड को बनवाने का खर्च ज्ञात करें.
Total area of road
= Area of road which parallel to length + Area of road which parallel to breadth – overlapped road
= 70 × 5 + 30 × 5 – 5 × 5
= 350 + 150 – 25
= 500 – 25 = 475 m²
∴ Cost of gravelling the road
= 475 × 4 = ₹1900
किसी कमरे की सतह की लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः 20 फीट और 10 फीट है. विभिन्न रंगों की 2 फीट लंबी वर्गाकार टाइल्स सतह पर लगाये जाते हैं. सभी ओर पहली पंक्ति में काला टाइल्स लगाया जाता है. यदि शेष भाग के एक तिहाई भाग में सफेद टाइल्स लगाया जाता है और बाकी भाग में नीला टाइल्स, तो बताइए कि कितने नीले टाइल्स लगाये जाते हैं?
Area left after laying black tiles
= [(20 – 4) × (10 – 4)] sq. ft.
= 96 sq. ft.
Area under white tiles
sq. ft
= 32 sq. ft.
Area under blue tiles
= (96 – 32) sq. ft = 64 sq. ft.
Number of blue tiles
किसी आयताकार पार्क की लंबाई और चौड़ाई का अनुपात 3:2 है. यदि एक व्यक्ति पार्क की सीमा-रेखा के चारों ओर 12 किमी/घंटा की चाल से साइकिल चलाता है तो वह एक चक्कर 8 मिनट में पूरा कर लेता है, तो पार्क का क्षेत्रफल (वर्गमीटर में) होगाः
Perimeter = Distance covered in 8 min.
Let length = 3x metres and breadth = 2x metres.
Then, 2 (3x + 2x) = 1600 or x = 160.
∴ Length = 480 m and Breadth = 320 m.
∴ Area = (480 × 320) m² = 153600 m².
एक वर्ग की भुजा को त्राुटिपूर्ण तरीके से 5 प्रतिशत ज्यादा मापा है. क्षेत्रफल की गणना में प्रतिशत त्रुटि होगीः
ℓ × b = 100 m²
Therefore,
⇒ b = 10, 5
If we take b = 10, then garden becomes a square
Therefore, b = 5 m.
किसी कमरे की लंबाई इसकी चौड़ाई से दुगुनी है. ₹25 प्रति वर्ग मीटर की दर से इसके सीलिंग को रंगने का खर्च ₹5,000 आता है और ₹240 प्रति वर्ग मीटर की दर से इसके चारों दीवारों को रंगने का खर्च ₹64,800 आता है. कमरे की उँचाई ज्ञात करें.
Let the length of the room be ℓ m
Then its, breadth = ℓ/2
⇒ ℓ² = 400
⇒ ℓ = 20 m
Also,
⇒ 3ℓh = 270
एक आयताकार प्लेट की चौड़ाई 6 मीटर है. इसमें एक गैस कटर की सहायता से 2 सेमी व्यास वाले दो छिद्र और 1 मीटर व्यास वाला एक छिद्र बनाया गया. प्लेट के शेष भाग का क्षेत्रफल क्या होगा?
Given, Length = 12 m and Breadth = 6 m
∴ Area of rectangular plate
= 12 × 6 = 72 m²
Since, two apertures of 3 m diameter each have been made from this plate.
∴ Area of these two apertures
= π(1)² + π(1)²
= π + π = 2 π
Area of 1 aperture of 1m diameter
∴ Total area of aperture
= = ⁹⁹⁄₁₄
∴ Area of the remaining portion of the plate
= 72 - ⁹⁹⁄₁₄ sq. m
= ⁹⁰⁹⁄₁₄ sq. m ≈ 64.5 sq.m
50 सेमी × 5 सेमी माप वाले चार पेपर बिना एक-दूसरे को ढँके हुए 55 सेमी भुजा वाले एक वर्ग के रूप में व्यवस्थित किए जाते हैं. इस तरह से बने वर्ग के आंतरिक वर्ग का क्षेत्रफल क्या होगा?
Side of the inner square
= 55 – 10 = 45
∴ Area of inner square
= 45 × 45 = 2025 sq. m.
नीचे दी गई आकृति में AC + AB = 5AD और AC - AD = 8 तो, ABCD का क्षेत्रफल होगाः
AC + AB = 5AD
⇒ AC + a = 5b ...(1)
AC - AD = 8
⇒ AC = b + 8 ...(2)
Using (1) and (2) ,
a + b + 8 = 5b
⇒ a + 8 = 4b ...(3)
Using Pythagorous theorem,
a² + b² = (b + 8)² = b² + 64 + 16b
⇒ a² = 16b + 64 = (4b - 8)² = 16b² + 64 - 64b
⇒ 16b² - 80b = 0
⇒ b = 0 or 5
Putting b = 5 in (3),
a = 4b - 8 = 20 - 8 = 12
Area of rectangle = 12 × 5 = 60
ABCD एक वर्ग है. AB का मध्य-बिन्दु F और BC कोई बिन्दु E इस प्रकार से है कि BE, BC का एक-तिहाई है. यदि ∆FBE = 108 मीटर² है, तो AC की लंबाई हैः
Let the side of the square be x, then,
BE = x/3 and BF = x/2
Area of ∆FEB
Now,
⇒ x² = 108 × 12 = 1296
In ∆ADC, we have
AC² = AD² + DC²
= x² + x² = 2x²
= 2 × 1296 = 2592
⇒ AC
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