अनुपात एवं समानुपात फार्मूला

अनुपात एवं समानुपात: फार्मूला, ट्रिक, उदहारण और ऑनलाइन टेस्ट

अनुपात (Ratio) : अनुपात हमेशा दो सजातीय राशि में होता है। एक राशि का दूसरी राशि में भाग देने पर अनुपात प्राप्त होता है। जैसे यदि A राशि को B राशि से भाग दिया जाये, तब को A तथा B का अनुपात कहते हैं। इसे निम्न प्रकार लिखते हैं :

अतः अनुपात A : B में A को प्रथम पद तथा B को द्वितीय पद कहा जाता है। यदि किसी अनुपात के प्रत्येक पद को 0 को छोड़कर किसी निश्चित संख्या से गुणा या भाग करते हैं तो वह अनुपात अपरिवर्तित रहता है।

अनुपात के गुण (Properties of Ratio)

a : b = m a : m b, जहाँ m एक स्थिरांक है।

a : b : c = A : B : C जो समतुल्य है के।

यह एक महत्वपूर्ण गुण है जो तीन राशियों के अनुपात में उपयोग होता है।

यदि ,

तो

अनुपात का यह गुण कम्पोनेंडो (Componendo) कहलाता है

उदाहरण के लिए :

इसलिए,

यह गुण डिविडेंडो (Dividendo) कहलाता है।

उदाहरण के लिए:

इसलिए,

यह गुण कम्पोनेंडो और डिविडेंडो (Componendo and Dividendo) कहलाता है।

उदाहरण के लिए:

इसलिए, =

यदि

तो = प्रत्येक का अलग-अलग अनुपात

उदाहरण के लिए:

इसलिए

यदि A > B तब जहाँ A, B और C प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

उदाहरण के लिए: 3 > 2,

तब, [क्योंकि ]

यदि A < Bतो

जहाँ A, B और C प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

उदाहरण के लिए: 2 < 3,तब, [क्योंकि ]

एक दी हुई राशि को दिये गये अनुपात में विभाजित करना

माना एक दी हुई राशि ‘a’ को अनुपात m : n में विभाजित करना है।

माना दी हुई राशि का एक भाग x है तो दूसरा भाग a – x होगा।

∴

या nx = ma – mx

या (m + n) x = ma

∴ पहला भाग है

और दूसरा भाग होगा

उदाहरण 1. 70 को 3 : 7 अनुपात में विभाजित कीजिए।

हल: माना पहला भाग x है, तो दूसरा भाग = 70 – x

∴

या 7x = 210 – 3x

या x = 21 और 70 – x = 49

अतः 70 के दो अभीष्ट भाग 21 और 49 हैं।

किसी द्विआयामी चित्रों में, यदि भुजाओं का अनुपात x : y हो, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात x² : y² होगा।

उदाहरण 2. दो वृतों की त्रिज्याओं का अनुपात 2 : 5 है। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात करें।

हल: उनके क्षेत्रफलों का अनुपात = 2² : 5² = 4 : 25

किसी त्रिआयामी चित्रों में, यदि भुजाओं का अनुपात x : y हो, तो उनके आयतनों का अनुपात x³ : y³ होगा। यदि दो संख्याओं का अनुपात a : b है और यदि प्रत्येक संख्या में x वृद्धि होने पर अनुपात c : d हो जाए तब, दो संख्याओं का योग

दो संख्याओं का अंतर

दो दी हुई संख्याएँ हैं

और

उदाहरण 3. दो संख्याओं का अनुपात 3 : 4 है। यदि प्रत्येक संख्या में 2 की वृद्धि हो, तो अनुपात 7 : 9 हो जाता है। संख्याएँ ज्ञात करें।

हल: संख्याएँ हैं

और

या 12 और 16

यदि दो संख्याओं का योग A और अंतर a हो, तो दी हुई संख्याओं का अनुपात A + a : A – a होगा।

उदाहरण 4. दो संख्याओं का योग 60 और अंतर 6 है। संख्याओं का अनुपात क्या होगा?

हल: संख्याओं का अभीष्ट अनुपात

या 11 : 9

समानुपात (Proportion)

जब दो अनुपात बराबर होते हैं तो वे समानुपात कहलाते हैं।

जैसे- ⇒ A : B : : C : D यहाँ AD = BC

उदाहरण 5. यदि 12 : 18 : : x : 24 हो, तो x का मान कितना होगा?

हल: 12 : 18 : : x : 24

⇒ 12 × 24 = 18 × x

⇒ x = = 16

समानुपात के प्रकार

निरंतर समानुपात: यदि तीन संख्याएँ a, b और c निरंतर समानुपात में हो, तो हम कह सकते हैं कि a, b और c समानुपात में हैं।

तो,

b² = ac ⇒ b =

अतः हम कह सकते हैं कि ‘a’ पहला समानुपात, ‘c’ तीसरा समानुपात और ‘b’ मध्य समानुपात है।

प्रत्यक्ष समानुपात: यदि X, Y के प्रत्यक्ष समानुपाती हो तो किसी एक के बढ़ने या घटने पर दूसरे पर उसका सीधा प्रभाव पड़ेगा। यदि X बढ़ता है तो Y भी बढ़ेगा और यदि X घटता है तो Y भी घटेगा।

व्युत्क्रम समानुपात: यदि X, Y के व्युत्क्रमानुपाती हो यानी दोनों में किसी एक के बढ़ने या घटने पर दूसरे पर उसका व्युत्क्रम प्रभाव पड़ेगा। यदि X के बढ़ने पर Y घटे और X के घटने पर Y बढ़े तो इस समानुपात को व्युत्क्रम समानुपात कहते हैं।