क्षेत्रमिति: फार्मूला, ट्रिक, उदहारण और ऑनलाइन टेस्ट

क्षेत्रमिति के अंतर्गत हम किसी द्विविमीय या त्रिविमीय आकृतियों के क्षेत्रफल, परिमाप, आयतन आदि का अध्ययन करते हैं। इस अध्याय से संबंधित प्रश्नों को हल करने के लिए निम्नलिखित सूत्रों को जानना आवश्यक है।

द्विविमीय आकृतियाँ (Two Dimensional Figures)

आयत (Rectangle)

mensuration-f-h-10651.png

क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

परिमिति = 2 (लम्बाई + चौड़ाई)

विकर्ण = mensuration-f-h-10679.png

वर्ग (Square)

mensuration-f-h-10685.png

क्षेत्रफल = (भुजा) ²

परिमिति = 4 × भुजा

विकर्ण = mensuration-f-h-10692.png × भुजा

त्रिभुज (Triangle)

विषमबाहु त्रिभुजः यदि a, b तथा c क्रमशः पहली, दूसरी और तीसरी भुजा की लम्बाईयाँ हो तब

mensuration-f-h-10698.png

(s = अर्ध-परिमिति) = mensuration-f-h-10704.png

और, क्षेत्रफल = mensuration-f-h-10711.png

समकोण त्रिभुज

यदि त्रिभुज समकोण हो, तब

mensuration-f-h-10717.png

क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई

समबाहु त्रिभुज

यदि त्रिभुज समबाहु हो, तब

mensuration-f-h-10724.png

क्षेत्रफल = mensuration-f-h-10731.png(भुजा) ²

a भुजा वाली समबाहु त्रिभुज के अन्तः वृत्त की त्रिज्या = mensuration-f-h-10738.png

a भुजा वाली समबाहु त्रिभुज के परिवृत्त की त्रिज्या = mensuration-f-h-10744.png

वृत्त (Circle)

mensuration-f-h-10750.png

क्षेत्रफल = π × (त्रिज्या)²

परिधि = 2π × त्रिज्या

त्रिज्या = mensuration-f-h-10757.png

अर्द्ध-वृत्त (Semicircle)

अर्द्ध-वृत्त का क्षेत्रफल = 1/2 × π R²

अर्द्ध-वृत्त की परिमिति = (π R + 2R)

mensuration-f-h-10765.png

चाप की लम्बाई = mensuration-f-h-10771.png

वृत्तखण्ड AOB का क्षेत्रफल

= 1/2 × (चाप AB) × R = mensuration-f-h-10777.png

कमरे की चार दीवारों का:

क्षेत्रफल = 2 × ऊंचाई (लम्बाई + चौड़ाई)

ऊंचाई = mensuration-f-h-10783.png

चतुर्भुज (Quadrilateral)

समांतर चतुर्भुज (Parallelogram)

mensuration-f-h-10789.png

क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई

समचतुर्भुज (Rhombus)

mensuration-f-h-10795.png

क्षेत्रफल = 1/2 × विकर्णों का गुणनफल

समलम्ब चतुर्भुज (Trapezium)

mensuration-f-h-10802.png

क्षेत्रफल = 1/2 × (समान्तर भुजाओं का योग) × उनके बीच की दूरी

विषमबाहु चतुर्भुज (Trapezoid)

mensuration-f-h-10809.png

क्षेत्रफल = ½ (DP + BQ) × AC

त्रिविमीय आकृतियाँ (Three dimensional Figures)

घनाभ (Cuboid)

mensuration-f-h-10815.png

यदि घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई क्रमशः L, B और H हो तब

आयतन = L × B × H

सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2 (L × B + B × H + H + L)

विकर्ण = mensuration-f-h-10830.png

घन (Cube)

mensuration-f-h-10823.png

यदि घन की प्रत्येक भुजा a हो, तब

आयतन = a × a × a = a³

सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2(a × a + a × a + a × a) = 6a²

घन का विकर्ण = mensuration-f-h-10836.png

बेलन (Cylinder)

mensuration-f-h-10843.png

यदि बेलन की त्रिज्या r तथा ऊँचाई या लम्बाई h हो, तब

आयतन = πr²h

क्षेत्रफल = 2πrh

सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = (2πrh + 2πr²)

शंकु (Cone)

mensuration-f-h-10849.png

यदि शंकु के आधार की त्रिज्या, ऊँचाई तथा इसकी तिर्यक-ऊँचाई क्रमशः r, h तथा ℓ हो, तब:

आयतन = mensuration-f-h-10857.png

वक्र-पृष्ठ का क्षेत्रफल = πrℓ

सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = πrℓ + πr²

तिर्यक ऊँचाई = ℓ = mensuration-f-h-10863.png

गोला (Sphere)

mensuration-f-h-10870.png

यदि गोले की त्रिज्या r हो, तब

आयतन = mensuration-f-h-10877.png

वक्र-पृष्ठ क्षेत्रफल = 4πr²

अर्द्ध-गोला (Semisphere)

mensuration-f-h-10883.png

आयतन = mensuration-f-h-10889.png

वक्र-पृष्ठ क्षेत्रफल = 2πr²

सम्पूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल = 2πr² + πr² = 3πr²